קריסת אוילר, הסבר מלא

למה עמודים קורסים

לוחצים על הקצוות של מוט ארוך ודק והוא נשאר ישר, עד עומס מסוים. בעומס הזה סטייה צידית קטנטנה כבר לא חוזרת: הכפיפה שהעומס הצירי יוצר דרך הסטייה גוברת על קשיחות הכפיפה של המוט. העמוד מתעקם החוצה ולא נושא יותר עומס. זו אי־יציבות, והיא יכולה לקרות כשהמאמץ רחוק מאוד מהכניעה.

לכן בנוסחה מופיע E, מודול האלסטיות, ולא חוזק הכניעה. פלדה בחוזק גבוה קורסת באותו עומס כמו פלדה רכה באותה צורה.

תנאי קצה ואורך אפקטיבי

K הופך את האורך האמיתי לאורך אפקטיבי: האורך של עמוד שקול עם סמכים פשוטים בשני הקצוות. סמך פשוט בשני הקצוות, K שווה 1. קצה אחד רתום והשני חופשי, כמו תורן דגל, K שווה 2, כך שהוא קורס ברבע מהעומס. רתום וסמך פשוט, K בערך 0.7. רתום בשני הקצוות, K שווה 0.5 בתיאוריה. ריתום אמיתי אף פעם לא קשיח לגמרי, ולכן מדריכי תכן ממליצים על כ־0.65 במקום.

עמוד קורס סביב הציר שבו מומנט ההתמד I הקטן ביותר. בחתך מלבני זה הכיוון הדק, ולכן בודקים את שני הצירים.

מתי אוילר תקף

יחס התמירות KL/r, כאשר r שווה שורש של I/A הוא רדיוס ההתמד, קובע באיזה תחום נמצאים. בעמודים ארוכים ותמירים המאמץ הקריטי נמוך מגבול היחסיות ואוילר תקף. עמודים קצרים נמחצים במקום לקרוס. בתחום הביניים עקומת ג׳ונסון היא עקומת התכן המקובלת. לעמודים אמיתיים יש עקמומיות התחלתית ועומסים שאינם במרכז, ולכן הם נכשלים מעט מתחת לעומס של אוילר; התקנים מכסים את זה בעקומות עמוד משלהם.

דוגמה עם מספרים

מוט פלדה מלא בקוטר 20 מ״מ ובאורך מטר, עם סמכים פשוטים בשני הקצוות. E שווה 200 GPa ו־I שווה πd⁴/64, בערך 7.85 כפול 10 בחזקת מינוס 9 m⁴. לכן P_cr שווה π² כפול 200 כפול 10⁹ כפול 7.85 כפול 10 בחזקת מינוס 9, חלקי 1², בערך 15.5 kN.

מחלקים בשטח החתך, 3.14 כפול 10 בחזקת מינוס 4 m², והמאמץ ברגע הקריסה הוא רק כ־49 MPa, בערך חמישית מחוזק כניעה טיפוסי. המוט קורס הרבה לפני שהחומר נכנע.

טעויות נפוצות

• להשתמש ב־I של הציר החזק. העמוד בוחר את הציר החלש.
• להניח ריתום אידיאלי ולקחת K שווה 0.5 בתכן.
• להפעיל את אוילר על עמוד קצר ועבה, שם הוא מעריך את העומס הרבה יותר מדי.