תדר עצמי ותהודה, הסבר מלא

הטמעת המחשבון

חופשי לשימוש באתר קורס, בבלוג או בעמוד של כיתה. מדביקים את הקוד הזה במקום שבו רוצים אותו.

<iframe src="https://carnot.taueng.com/embed/he/natural-frequency" width="100%" height="560" style="border:0" loading="lazy" title="CARNOT calculator"></iframe>
<p>מחשבון של <a href="https://carnot.taueng.com/he/learn/natural-frequency">CARNOT</a></p>

מסה וקפיץ

מושכים מסה שתלויה על קפיץ ומשחררים. היא נעה הלוך ושוב בקצב אחד מסוים, לא משנה כמה חזק משכתם. הקצב הזה הוא התדר העצמי: ω_n שווה השורש של k חלקי m ברדיאנים לשנייה, או f_n שווה ω_n חלקי 2π בהרץ.

קפיץ קשיח יותר מעלה אותו ומסה כבדה יותר מורידה אותו, ושניהם תחת שורש. כדי להכפיל את התדר העצמי צריך פי ארבעה קשיחות, או רבע מהמסה. למבנים אמיתיים יש הרבה תדרים עצמיים, אחד לכל צורת אופן, אבל כל אופן מתנהג כמו מסה וקפיץ משלו.

ריסון

ריסון מוציא אנרגיה מהתנועה. מודדים אותו ביחס הריסון ζ, הריסון בפועל חלקי הריסון הקריטי, שהוא 2 כפול השורש של km. מתחת ל־ζ של 1 המערכת מתנודדת בזמן שהתנועה דועכת, בתדר המרוסן ω_d שווה ω_n כפול השורש של 1 פחות ζ בריבוע. ב־ζ של 1 היא חוזרת למנוחה הכי מהר שאפשר בלי לעבור את נקודת האיזון. מעל 1 היא זוחלת חזרה לאט.

לרוב מבני המתכת יש יחס ריסון של אחוזים בודדים, אז בפועל ω_d ו־ω_n הם כמעט אותו מספר.

תהודה

כשכוח דוחף את המערכת בתדר העצמי שלה, כל דחיפה מגיעה בדיוק בקצב של התנועה, והמשרעת נבנית. רק הריסון מגביל אותה. בתהודה המשרעת היא 1 חלקי 2ζ כפול השקיעה שאותו כוח היה גורם באופן סטטי, כך שמבנה עם ריסון של 5 אחוז זז פי עשרה.

לכן מתכננים מרחיקים מהירויות עבודה מתדרים עצמיים, או עוברים דרכם מהר. בידוד רעידות עובד הפוך: תושבות רכות מספיק כדי שהתדר העצמי יהיה הרבה מתחת לתדר הכוח. הבידוד מתחיל רק כשתדר הכוח גבוה פי שורש 2 מהתדר העצמי. מתחת לזה, התושבות רק מחמירות את המצב.

דוגמה עם מספרים

מנוע של 10 ק״ג יושב על תושבות עם קשיחות כוללת של 40 קילוניוטון למטר. ω_n שווה השורש של 40,000 חלקי 10, בערך 63.2 רדיאנים לשנייה, ולכן f_n בערך 10.1 הרץ. אם המנוע מסתובב ב־600 סיבובים לדקה, כל חוסר איזון דוחף אותו ב־10 הרץ: כמעט בדיוק בתהודה. עם ζ של 0.05 הרעידה גדולה פי עשרה בערך מהשקיעה הסטטית.

תושבות רכות יותר, של 10 קילוניוטון למטר, מורידות את f_n לבערך 5.0 הרץ. עכשיו 10 הרץ הם בערך פי שניים מהתדר העצמי, מעל סף שורש 2, והתושבות מבודדות במקום להגביר.

טעויות נפוצות

• לערבב הרץ ורדיאנים לשנייה. ההבדל ביניהם הוא 2π, ובדיקת תהודה ביחידה הלא נכונה מפספסת פי שישה.
• להשתמש במשקל בניוטון, או במסה בגרמים, במקום שבו הנוסחה רוצה מסה בקילוגרמים.
• לחבר קפיצים בדרך הלא נכונה: במקביל הקשיחויות מתחברות, בטור ההופכיים שלהן מתחברים.